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Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Le sondage

Dans une très grande ville, 30 %30\ \% des habitants possèdent un abonnement de transport. On interroge au hasard 2020 habitants. On note XX le nombre d'habitants interrogés qui possèdent un abonnement.

  1. Expliquer pourquoi on peut modéliser XX par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer P(X=5)P(X=5) (arrondir à 10−310^{-3}).

  3. Calculer P(X≤3)P(X \leq 3) (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. En déduire P(4≤X≤8)P(4 \leq X \leq 8) (arrondir à 10−310^{-3}).

  5. Combien de personnes faut-il interroger, au minimum, pour que la probabilité de trouver au moins une personne qui vérifie « l'habitant possède un abonnement » soit supérieure ou égale à 0,990{,}99 ?

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Le sondage

  1. La ville est très grande : interroger 2020 habitants sans remise change très peu la proportion d'abonnés dans la population restante. On peut donc assimiler ce tirage à 2020 tirages indépendants avec remise.

    On répète donc 2020 fois une épreuve à deux issues (succès : « l'habitant possède un abonnement », de probabilité 0,30{,}3), de façon identique et indépendante : X∼B(20 ; 0,3)X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3).

  2. P(X=5)=(205)×0,35×0,715≈0,179P(X=5) = \binom{20}{5} \times 0{,}3^{5} \times 0{,}7^{15} \approx 0{,}179.

  3. P(X≤3)=∑j=03P(X=j)≈0,107P(X \leq 3) = \displaystyle\sum_{j=0}^{3} P(X=j) \approx 0{,}107.

  4. P(4≤X≤8)=P(X≤8)−P(X≤3)≈0,887−0,107=0,780P(4 \leq X \leq 8) = P(X \leq 8) - P(X \leq 3) \approx 0{,}887 - 0{,}107 = 0{,}780.

  5. 1−0,7N≥0,99  ⟺  0,7N≤0,011 - 0{,}7^{N} \geq 0{,}99 \iff 0{,}7^{N} \leq 0{,}01.

    0,712≈0,0138>0,010{,}7^{12} \approx 0{,}0138 > 0{,}01 et 0,713≈0,0097≤0,010{,}7^{13} \approx 0{,}0097 \leq 0{,}01.

    Il faut interroger au minimum 13 personnes.