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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

La découpe automatique

Un robot réalise une découpe conforme avec la probabilité $0{,}95$ , indépendamment d'une découpe à l'autre. Il effectue $15$ découpes. On note $X$ le nombre de découpes conformes.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=15)$ (arrondir à $10^{-3}$ ), puis en déduire la probabilité d'avoir au moins une découpe non conforme.
Calculer $P(X=14)$ puis $P(X \geq 14)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$ , et interpréter l'espérance.
On effectue maintenant $N$ épreuves identiques et indépendantes. Déterminer le plus petit entier $N$ pour que la probabilité d'avoir au moins une découpe non conforme dépasse $0{,}9$ .

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — La découpe automatique

On répète $15$ fois, de manière identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès : « la découpe est conforme », de probabilité $0{,}95$ ). Donc $X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}95)$ .
$P(X=15) = 0{,}95^{15} \approx 0{,}463$ .

L'événement « avoir au moins une découpe non conforme » est l'événement contraire de $\{X=15\}$ : sa probabilité vaut $1 - 0{,}463 = 0{,}537$ .
$P(X=14) = \binom{15}{14} \times 0{,}95^{14} \times 0{,}05^{1} \approx 0{,}366$ .

$P(X \geq 14) = \displaystyle\sum_{j=14}^{15} P(X=j) \approx 0{,}829$ .
$E(X) = 15 \times 0{,}95 = 14{,}25$ et $\sigma(X) = \sqrt{15 \times 0{,}95 \times 0{,}05} \approx 0{,}844$ .

En moyenne, on obtient 14,25 succès sur 15 épreuves.
$1 - 0{,}95^{N} > 0{,}9 \iff 0{,}95^{N} < 0{,}1$ .

On calcule : $0{,}95^{44} \approx 0{,}105 \geq 0{,}1$ et $0{,}95^{45} \approx 0{,}099 < 0{,}1$ .

Le plus petit entier est donc $N = 45$ .