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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Les lancers francs

Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}8$ , indépendamment des autres lancers. Elle effectue $10$ lancers. On note $X$ le nombre de lancers réussis.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=10)$ (arrondir à $10^{-3}$ ), puis en déduire la probabilité de manquer au moins un lancer.
Calculer $P(X=8)$ puis $P(X \geq 8)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$ , et interpréter l'espérance.
On effectue maintenant $N$ épreuves identiques et indépendantes. Déterminer le plus petit entier $N$ pour que la probabilité de manquer au moins un lancer dépasse $0{,}95$ .

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Les lancers francs

On répète $10$ fois, de manière identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès : « le lancer est réussi », de probabilité $0{,}8$ ). Donc $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}8)$ .
$P(X=10) = 0{,}8^{10} \approx 0{,}107$ .

L'événement « manquer au moins un lancer » est l'événement contraire de $\{X=10\}$ : sa probabilité vaut $1 - 0{,}107 = 0{,}893$ .
$P(X=8) = \binom{10}{8} \times 0{,}8^{8} \times 0{,}2^{2} \approx 0{,}302$ .

$P(X \geq 8) = \displaystyle\sum_{j=8}^{10} P(X=j) \approx 0{,}678$ .
$E(X) = 10 \times 0{,}8 = 8$ et $\sigma(X) = \sqrt{10 \times 0{,}8 \times 0{,}2} \approx 1{,}265$ .

En moyenne, on obtient 8 succès sur 10 épreuves.
$1 - 0{,}8^{N} > 0{,}95 \iff 0{,}8^{N} < 0{,}05$ .

On calcule : $0{,}8^{13} \approx 0{,}055 \geq 0{,}05$ et $0{,}8^{14} \approx 0{,}044 < 0{,}05$ .

Le plus petit entier est donc $N = 14$ .