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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

L'archer

Un archer atteint sa cible avec la probabilité $0{,}6$ à chaque flèche, indépendamment des autres tirs. Il tire $7$ flèches. On note $X$ le nombre de flèches qui atteignent la cible.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P(X=7)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer $P(X=6)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
En déduire $P(X \geq 6)$ et interpréter ce résultat.
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — L'archer

On répète $7$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : le succès (« la flèche atteint la cible ») de probabilité $0{,}6$ , et l'échec de probabilité $0{,}4$ . $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(7\,;\,0{,}6)$ .
$P(X=7) = \binom{7}{7} \times 0{,}6^{7} \times 0{,}4^0 = 0{,}6^{7} \approx 0{,}028$ .
$P(X=6) = \binom{7}{6} \times 0{,}6^{6} \times 0{,}4^{1} \approx 0{,}131$ .
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) \approx 0{,}131 + 0{,}028 = 0{,}159$ .

Il y a donc environ $15{,}9\ \%$ de chances d'avoir au moins 6 succès sur 7.
$E(X) = np = 7 \times 0{,}6 = 4{,}2$ .

Cela signifie que, sur un grand nombre de séries de 7 flèches, l'archer atteint en moyenne la cible 4,2 fois par série.