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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Les trajets à vélo

Dans une grande ville, $35\ \%$ des habitants se rendent au travail à vélo. On interroge au hasard $12$ habitants, et on assimile cette enquête à $12$ tirages indépendants. On note $X$ le nombre d'habitants interrogés qui vont au travail à vélo.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer la probabilité qu'aucun habitant interrogé ne vienne à vélo, c'est-à-dire $P(X=0)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer $P(X=1)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
En déduire $P(X \leq 1)$ et interpréter ce résultat.
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Les trajets à vélo

On répète $12$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : le succès (« l'habitant va au travail à vélo ») de probabilité $0{,}35$ , et l'échec de probabilité $0{,}65$ . $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(12\,;\,0{,}35)$ .
$P(X=0) = \binom{12}{0}\times 0{,}35^0 \times 0{,}65^{12} = 0{,}65^{12} \approx 0{,}006$ .
$P(X=1) = \binom{12}{1} \times 0{,}35 \times 0{,}65^{11} \approx 0{,}037$ .
$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}0057 + 0{,}0368 \approx 0{,}042$ .

Il y a donc environ $4{,}2\ \%$ de chances d'avoir au plus un succès (« l'habitant va au travail à vélo »).
$E(X) = np = 12 \times 0{,}35 = 4{,}2$ .

Cela signifie que, sur de nombreuses enquêtes de 12 personnes, on trouve en moyenne 4,2 cyclistes par enquête.