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Faire l'exercice sur le site

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Les graines qui germent

Un jardinier sème 1010 graines. Chaque graine germe avec la probabilité 0,90{,}9, indépendamment des autres. On note XX le nombre de graines qui germent.

  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer P(X=10)P(X=10) (arrondir à 10−310^{-3}).

  3. Calculer P(X=9)P(X=9) (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. En déduire P(X≥9)P(X \geq 9) et interpréter ce résultat.

  5. Calculer l'espérance de XX et interpréter ce résultat.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Les graines qui germent

  1. On répète 1010 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : le succès (« la graine germe ») de probabilité 0,90{,}9, et l'échec de probabilité 0,10{,}1. XX compte le nombre de succès, donc XX suit la loi binomiale B(10 ; 0,9)\mathcal{B}(10\,;\,0{,}9).

  2. P(X=10)=(1010)×0,910×0,10=0,910≈0,349P(X=10) = \binom{10}{10} \times 0{,}9^{10} \times 0{,}1^0 = 0{,}9^{10} \approx 0{,}349.

  3. P(X=9)=(109)×0,99×0,11≈0,387P(X=9) = \binom{10}{9} \times 0{,}9^{9} \times 0{,}1^{1} \approx 0{,}387.

  4. P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10)≈0,387+0,349=0,736P(X \geq 9) = P(X=9) + P(X=10) \approx 0{,}387 + 0{,}349 = 0{,}736.

    Il y a donc environ 73,6 %73{,}6\ \% de chances d'avoir au moins 9 succès sur 10.

  5. E(X)=np=10×0,9=9E(X) = np = 10 \times 0{,}9 = 9.

    Cela signifie que, sur un grand nombre de semis de 10 graines, on obtient en moyenne 9 graines germées par semis.