Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le QCM au hasard

Un QCM comporte $6$ questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à toutes les questions, de façon indépendante. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer la probabilité que l'élève n'ait aucune bonne réponse, c'est-à-dire $P(X=0)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Calculer $P(X=3)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
En déduire la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse.
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le QCM au hasard

On répète $6$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : le succès (« l'élève donne la bonne réponse ») de probabilité $0{,}25$ , et l'échec de probabilité $0{,}75$ . $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}25)$ .
$P(X=0) = \binom{6}{0}\times 0{,}25^0 \times 0{,}75^{6} = 0{,}75^{6} \approx 0{,}178$ .
$P(X=3) = \binom{6}{3} \times 0{,}25^{3} \times 0{,}75^{3} \approx 0{,}132$ .
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}178 = 0{,}822$ .
$E(X) = np = 6 \times 0{,}25 = 1{,}5$ .

Cela signifie que, en répondant au hasard, un élève obtient en moyenne 1,5 bonne réponse sur 6 questions.