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Faire l'exercice sur le site

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le contrôle qualité

Une usine fabrique des pièces dont 10 %10\ \% sont défectueuses. On prélève au hasard 88 pièces dans une très grande production et on assimile ce prélèvement à 88 tirages indépendants avec remise. On note XX le nombre de pièces défectueuses parmi les 88 pièces prélevées.

  1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse, c'est-à-dire P(X=0)P(X=0) (arrondir à 10−310^{-3}).

  3. Calculer P(X=2)P(X=2) (arrondir à 10−310^{-3}).

  4. En déduire la probabilité d'avoir au moins une pièce défectueuse.

  5. Calculer l'espérance de XX et interpréter ce résultat.

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le contrôle qualité

  1. On répète 88 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : le succès (« la pièce est défectueuse ») de probabilité 0,10{,}1, et l'échec de probabilité 0,90{,}9. XX compte le nombre de succès, donc XX suit la loi binomiale B(8 ; 0,1)\mathcal{B}(8\,;\,0{,}1).

  2. P(X=0)=(80)×0,10×0,98=0,98≈0,430P(X=0) = \binom{8}{0}\times 0{,}1^0 \times 0{,}9^{8} = 0{,}9^{8} \approx 0{,}430.

  3. P(X=2)=(82)×0,12×0,96≈0,149P(X=2) = \binom{8}{2} \times 0{,}1^{2} \times 0{,}9^{6} \approx 0{,}149.

  4. P(X≥1)=1−P(X=0)≈1−0,430=0,570P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}430 = 0{,}570.

  5. E(X)=np=8×0,1=0,8E(X) = np = 8 \times 0{,}1 = 0{,}8.

    Cela signifie que, sur un grand nombre de lots de 8 pièces, on trouve en moyenne 0,8 pièce défectueuse par lot.